Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 20.2.2017 (08:28)

  Ćwiczenie 1.
  a)
  Liczymy pochodną i porównujemy do zera: f ' (x) = - 3x^2 + 3 = 0
  Można ten wzór zapisać tak: 3(-x + 1)(x + 1) = 0
  Otrzymujemy dwa punkty w których jest ekstremum:
  
  x1 = -1
  W tym punkcie pochodna zmienia znak z minusa na plus więc jest to minimum.
  Liczymy wartość funkcji f(-1) = -(-1)^3 + 3 * (-1) + 2 = 0
  
  x2 = 1
  W tym punkcie pochodna zmienia znak z plusa na minus więc jest to maksimum.
  Liczymy wartość funkcji f(1) = -1^3 + 3 * 1 + 2 = 4
  
  Oczywiście oba ekstrema to ekstrema lokalne.
  --------------------------------
  
  b)
  Jak poprzednio: f ' (x) = 6x^2 - 6x - 12 = 0 ; dzielimy przez 6
  x^2 - x - 2 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  Delta = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 9 ; pierwiastek(Delta) = 3
  
  x1 = (1 - 3) / 2 = - 1
  W tym punkcie pochodna zmienia znak z plusa na minus więc jest to maksimum.
  Liczymy wartość funkcji f(-1) = 2 * (-1)^3 - 3 * (-1)^2 - 12 * (-1) = 7
  
  x2 = (1 + 3) / 2 = 2
  W tym punkcie pochodna zmienia znak z minusa na plus więc jest to minimum.
  Liczymy wartość funkcji f(2) = 2 * 2^3 - 3 * 2^2 - 12 = - 20
  
  Oczywiście oba ekstrema to ekstrema lokalne.
  --------------------------------
  
  c)
  Jak poprzednio: 12x^3 - 24x^2 = 0
  Zapisujemy to tak: 12x^2 (x - 2) = 0
  W punkcie x1 = 2 pochodna zmienia znak z minusa na plus
  więc jest to minimum lokalne.
  Liczymy wartość funkcji f(2) = 3 * 2^4 - 8 * 2^3 + 4 = - 12
  
  Natomiast w punkcie x = 0 NIE MA EKSTREMUM.
  Pochodna w okolicy x = 0 ma znak minus po obu stronach. Wykres funkcji staje się płaski, ale jest to jedynie punkt przegięcia funkcji. Wykres jest w załączniku (skale na osiach X i Y są różne).
  ========================================

  Załączniki

  • wykres_c.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie