Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 15.2.2017 (16:02)

  [ Czytaj proszę ^ jako "do potęgi", np: 2^3 = 8 ]
  
  1.
  a)
  Liczymy pochodną - porównujemy ją do zera: y ' = 3x^2 + 2x - 1 = 0
  Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
  delta = 2^2- 4*3*(-1) = 16 ; pierwiastek(delta) = 4
  x1 = (-2 - 4 / 6) = -1
  x2 = (-2 + 4 / 6) = 1 / 3
  Współczynnik przy x^2 w pochodnej jest dodatni więc:
  y ' > 0 dla x < -1 / 2 i funkcja jest rosnąca w przedziale ( - oo; - 1 ).
  y ' < 0 w przedziale ( - 1; 1 / 3 ) i funkcja jest tam malejąca.
  y ' > 0 dla x > 1 / 3 i funkcja jest rosnąca w przedziale ( 1 / 3; +oo ).
  W punkcie x = - 1 funkcja ma maksimum lokalne.
  Podstawiamy ten x do wzoru funkcji: y = (-1)^3 + (-1)^2 + 1 - 1 = 0
  W punkcie x = - 1 / 2 funkcja ma minimum lokalne.
  Podstawiamy ten x do wzoru funkcji: y = (1/3)^3 + (1/3)^2 - 1/3 - 1 = - 32 / 27
  ---------------------------
  
  b)
  Jak poprzednio liczymy pochodną. Jest to pochodna ilorazu czyli:
  y ' = [ 3x^2 (x - 1) - x^3 ] / (x - 1)^2 ; porządkujemy:
  y ' = x^2 (2x - 3) / (x - 1)^2 = 0
  Mianownik pochodnej jest dodatni w całej dziedzinie,
  tzn gdy x należy do R \ { 1 }.
  Licznik jest zerem dla x = 0, ale NIE jest to ekstremum, gdyż pochodna nie zmienia znaku.
  oraz dla x = 3 / 2, gdzie pochodna zmienia znak z minusa na plus.
  Funkcja jest malejąca w przedziale ( - oo; 3 / 2) \ { 1 }
  Funkcja jest rosnąca w przedziale ( 3 / 2; +oo )
  W punkcie x = 3/2 jest minimum lokalne, równe: (3/2)^3 / (3/2 - 1) = 27 / 4
  ---------------------------
  
  c)
  Pochodna: y ' = 4x^3 - 12x = 4x (x^2 - 3) , zapisujemy to jako:
  y ' = 4x [ x + pierwiastek(3) ] [ x - pierwiastek(3) ] = 0
  Dla x < pierwiastek(3) wszystkie fragmenty pochodnej są ujemne i y ' < 0
  Daje to przedział ( - oo; - pierwiastek(3) ) gdzie funkcja maleje
  Dla przedziału ( - pierwiastek(3) ; 0) jest odwrotnie - funkcja jest rosnąca.
  W przedziale (0; pierwiastek(3) ) funkcja ponownie maleje.
  Dla x > pierwiastek(3) czyli w przedziale (pierwiastek(3) ; +oo) funkcja rośnie.
  Są dwa minima lokalne, w punktach -pierwiastek(3) i pierwiastek(3).
  Wartość funkcji w tych punktach = 3^2 - 6*3 + 7 = - 2
  W punkcie x = 0 jest maksimum lokalne, równe 7
  ======================================
  
  2.
  Najmniejsze i największe wartości funkcja przybiera albo na końcach przedziału,
  albo w ekstremach, o ile istnieją i leżą wewnątrz podanego przedziału.
  
  a)
  Liczymy pochodną: y ' = 3x^2 - 9 = 3(x^2 - 3) = 0
  Ekstrema są w punktach x = - pierwiastek(3), ale ten punkt nie należy do <0; 4>
  albo w x = pierwiastek(3).
  Wartość funkcji gdy x = pierwiastek(3) wynosi - 6 * pierwiastek(3).
  na końcach przedziału < 0 ; 4 > funkcja ma wartości 0 i 28.
  Czyli najmniejsza wartość funkcji to - 6 * pierwiastek(3)
  a największa wartość to 28
  ---------------------------
  
  b)
  Pochodna (jako pochodna ilorazu)
  y ' = [ 2x(x - 3) - x^2 ] / (x - 3)^2 = x (x - 6) / (x - 3)^2 = 0
  Ekstrema są w punkcie x = 6 ; ale ten punkt nie należy do <-1; 3>
  oraz w punkcie x = 0. Wtedy wartość funkcji wynosi 0.
  Na lewym końcu przedziału mamy (-1)^2 / (-1 - 3) = - 1/4
  Prawy koniec przedziału nie należy do dziedziny funkcji.
  Możemy policzyć granicę lewostronnną gdy x --> 3-.
  Licznik jest wtedy dodatni, mianownik ujemny i dąży do zera, więc ta granica to -oo
  Najmniejsza wartość funkcji: - oo ; największa : 0
  ======================================
  
  3.
  Podstawa tego graniastosłupa to kwadrat o boku "x".
  Wysokość h obliczamy z informacji o sumie długości krawędzi:
  4h + 8x = 36 ; więc
  h = 9 - 2x
  Objętość: V = a^2 h = x^2 (9 - 2x) = 9x^2 - 2x^3
  Liczymy pochodną V po x.
  V ' = 18x - 6x^2 = 6x(3 - x) = 0
  Mamy ekstrema dla x = 0, ale wtedy bryła nie jest graniastosłupem
  i dla x = 3.
  Przy przechodzeniu przez x = 3 pochodna zmienia znak z plusa na minus
  jest to więc maksimum.
  Graniastosłup jest wtedy sześcianem (bo h = x = 3) . Objętość wynosi: 3^3 = 27
  ======================================
  
  Drugi załącznik jest identyczny z pierwszym.
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie