Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.11.2016 (15:20)

  Zadanie 17A.
  Tor ruchu jest elipsą położoną w płaszczyźnie z = const. Dowód:.
  Jeżeli podzielimy x przez a, oraz y przez b i napiszemy takie wyrażenie:
  
  \left(\frac{x}{a} \right )^2 + \left(\frac{y}{b} \right )^2 = \cos^2(kt)+\sin^2(kt) = 1
  
  to otrzymujemy równanie elipsy: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
  [ czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", nie zawsze używam LaTeX'a ].
  
  Niech r = [ x; y; z ] będzie wektorem wodzącym punktu. Wtedy:
  
  r(t) = [ a cos(kt); b sin(kt); z0 ] ; gdzie z0 = stała, położenie w płaszczyźnie.
  
  Prędkość v(t) (jako wektor równoległy do płaszczyzny XY i styczny do elipsy)
  otrzymujemy różniczkując r(t) po czasie. Składowa z-owa jest równa 0.
  
  \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = [\,-ak\sin(kt);\, bk\cos(kt); \,0\,]
  
  Przyspieszenie a(t) (też jako wektor) dostajemy różniczkując v(t)
  
  \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = [\,-ak^2\cos(kt);\, -bk^2\sin(kt); \,0\,]
  
  Zauważ proszę, że jeśli współrzędna z = 0 to mamy prosty wzór:
  
  \vec{a}(t) = - k^2\,\vec{r}(t)
  
  czyli przyspieszenie (gdy z = 0) ma kierunek identyczny jak wektor wodzący. Gdyby był to ruch po okręgu (czyli gdy a = b) to przyspieszenie jest po prostu przyspieszeniem dośrodkowym, pamiętasz "szkolny" wzór?
  
  Nie ma innych wymagań w zadaniu, więc to już całe rozwiązanie.
  UWAGA! To NIE jest opis ruchu planety wokół gwiazdy, mimo że wychodzi elipsa.
  =================================
  
  Zadanie 22A
  a)
  Prędkość kątowa 'omega' jest pochodną "drogi kątowej" psi po czasie czyli:
  
  omega = d psi / dt = B + 3 C t^2
  
  Wstawiamy dane: B = 2; C = 1; t = 2 i mamy omega = 14 1/s
  
  UWAGA!
  W zadaniu podano wymiary parametrów B i C jako 1/s^(-2) i 1/s^(-3).
  Wobec tego wymiarem prędkości kątowej będzie 1/s a NIE radian/sekundę.
  
  b)
  Prędkość liniowa v = prędkość kątowa omega razy promień R
  v = omega * R = 14 * 0,1 = 1,4 m/s
  
  c)
  Przyspieszenie kątowe "eps" jest pochodną prędkości kątowej po czasie:
  
  eps = d omega / dt = 6 C ; patrz punkt (a); czyli:
  eps = 6 * 1 = 6 1 / s^2
  Ta sama uwaga: wymiarem jest 1/s^2 bo NIE ma radianów w wymiarze "C".
  
  d)
  Przyspieszenie styczne a_t jest iloczynem przyspieszenia kątowego i promienia
  
  a_t = eps * R = 6 * 0,1 = 0,6 m/s^2
  
  e)
  Przyspieszenie dośrodkowe a_r = omega^2 * R
  
  a_r = 14^2 * 0,1 = 19,6 m/s^2
  ========================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie