Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.8.2016 (15:38)

  Spróbuję rozwiązać zadanie 3 bo (jako fizyk, nie bankowiec) chyba rozumiem użyte tam pojęcia, a matma jest dość prosta.
  
  Najpierw postawmy pytanie:
  Jaka kwota N jest potrzebna aby spełnić warunek:
  " aby na emeryturze przez kolejne 15 lat otrzymywać na początku każdego miesiąca kwotę 3000 zł. przy podanej stopie procentowej 4% na rok (czyli 4/12% = 1/3% = 1 / 300 na miesiąc)
  Rozumiem, że NAJPIERW jest odejmowane 3000, a potem liczymy odsetki z tego, co zostało. Wobec tego budujemy ciąg kolejnych wartości Ni przez 15 lat razy 12 miesięcy = 15 * 12 = 180 okresów.
  
  Na początku mamy sumę N0 = N.
  Wypłacamy 3000 i kapitalizujemy o 1 / 300 czyli PRZED następną wypłatą mamy:
  
  N1 = (N0 - 3000) * [1 + 1/300] = (N0 - 3000) * (301 / 300) ; czyli:
  N1 = N0 * (301 / 300) - 3000 * (301 / 300) = N0 * (301 / 300) - 3010
  Jak widać mnożymy N0 przez stały współczynnik 301/300
  i odejmujemy stałą wartość 3010
  
  Po drugim miesiącu używamy poprzedniego wzoru tylko zastępujemy N0 przez N1
  oraz N1 przez N2 czyli:
  
  N2 = (N1 - 3000) * [1 + 1/300] = (N1 - 3000) * (301 / 300) ; czyli
  N2 = N1 * (301 / 300) - 3010
  
  Wstawiamy N1 z poprzednich obliczeń do aktualnych
  N2 = [ N0 * (301 / 300) - 3010 ] * (301 / 300) - 3010 ; czyli
  N2 = N0 * (301 / 300)^2 - 3010 * (301 / 300) - 3010 ; czyli
  N2 = N0 * (301 / 300)^2 - 3010 * [ (301 / 300) + 1 ]
  
  Widzisz prawidłowość ? Jeszcze napiszę dla N3
  N3 = N0 * (301 / 300)^3 - 3010 * [ (301 / 300)^2 + (301 / 300) + 1 ]
  
  W ogólności dla i-tego miesiąca:
  Ni = N0 * (301 / 300)^i - 3010 * suma_wartości (301 / 300)^k dla k = 0.. i - 1
  
  Po upływie 180 okresów wielkość 180 ma zmaleć do zera (N180 = 0) ; więc:
  
  0 = N0 * (301 / 300)^180 - 3010 * suma_wartości (301 / 300)^k dla k = 0.. 179
  
  Tą sumę liczymy jako sumę szeregu geometrycznego {ai} gdzie:
  a0 = 1, q = 301/300 od 0 do 179
  suma = 1 * [ 1 - (301/300)^180 ] / [ 1 - 301/300] = około 246,09 zł.
  
  Wielkość (301 / 300)^180 to około 1,8203 i dostajemy równanie:
  0 = 1,8203 * N0 - 3010 * 246,09 ; stąd: N0 = około 406928 zł
  -----------
  
  Taką sumę N = około 406928 zł musimy zgromadzić przed emeryturą.
  Gdyby nie kapitalizacja wystarczyłaby ona na 406928 / (3000 * 12) = około 11 lat,
  ale odsetki pozwolą przeżyć nieco dłużej :)
  Teraz liczymy kwotę K wpłacaną co KWARTAŁ przez 20 lat (4 * 20 = 80 kwartałów)
  aby dostać N0.
  
  Metoda jest identyczna. Na początku mamy sumę M0 = 0.
  Po pierwszym miesiącu mamy M = K. Po kapitalizacji mamy na początku miesiąca:
  M1 = K * (1 + 4/300) = K * (76 / 75)
  
  Dodajemy K do M1 i liczymy M2 po kapitalizacji kwartalnej.
  Zastępujemy M1 przez M2 oraz K przez M1 więc:
  M2 = (M1 + K) * (76 / 75) ; czyli
  M2 = [ K * (76 / 75) + K ] * (76 / 75) = K * [ (76/75)^2 + (76/75) ] ; czyli
  M2 = K * (76/75) * [ (76/75) + 1 ]
  
  M3 wyjdzie:
  M3 = K * (76/75) * [ (76/75)^2 + (76/75) + 1 ] itd.
  
  W ogólności
  Mi = K * (76/75) * suma od i = 0 do 79 wielkości 76/75.
  Ta suma to około 81,0667 więc mamy równanie [ przez porównanie z liczbą N ]
  406928 = K * (76 / 75) * 81,0667
  
  Rozwiązanie daje: K = około 4953,62 zł
  
  NIE zdziw się, że wychodzi K > 3000. mimo, że wpłacamy przez 20 lat, a wypłacamy przez 15. Jest to wynik kwartalnej kapitalizacji. Policzyłem to dla kapitalizacji miesięcznej i wyszło mi K = około 1684 zł, raczej sensownie.
  
  Mogłem się pomylić w tych sumach, ale metoda wydaje mi się OK.
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Myślę, że pozostałe zadania rozwiązuje się podobnie, ale NIE znam używanych tam pojęć - co dodać, co odjąć.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie