Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 20.12.2015 (09:10)

  4)
  Narysuj sobie proszę ten trójkąt i jego wysokość.
  Oznaczmy:
  - długość wysokości przez "h",
  - krótszy odcinek przeciwprostokątnej [ ten przy boku pierw.(11) ] przez "x"
  - dłuższy odcinek przeciwprostokątnej [ ten przy boku 5 ] przez "y"
  
  Obliczmy jeszcze długość "c" całej przeciwprostokątnej
  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  c = pierwiastek [ (pierwiastek(11))^2 + 5^2 ] = pierwiastek(36) = 6
  
  Obliczmy też wysokość h trójkąta.
  Pole trójkąta z jednej strony to połowa iloczynu przyprostokątnych,
  z drugiej strony to połowa iloczynu przeciwprostokątnej i wysokości:
  
  (1/2) h * 6 = (1/2) * 5 * pierwiastek(11) ; stąd:
  
  h = (5/6) * pierwiastek(11)
  
  Mamy dwa równania na x, y
  
  1) x + y = 6 ; suma szukanych odcinków to przeciwprostokątna.
  
  2) x / h = h / y ; z podobieństwa trójkątów na które wysokość dzieli duży trójkąt.
  
  Z pierwszego równania y = 6 - x.
  Wstawiamy y do drugiego równania i mnożymy proporcję "na krzyż"
  
  x (6 - x) = h^2 ; wstawiamy h
  x (6 - x) = (25/36) * 11 ; wymnażamy nawias i ułamek po prawej stronie
  - x^2 + 6x - 275/36 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = 6^2 - 4 * (-1) * (-275/36) = 49/9. Pierwiastek(delta) = 7/3.
  
  x1 = (-6 - 7/3) / (-2) = 25/6
  x2 = (-6 + 7/3) / (-2) = 11/6
  
  Dostaliśmy długości OBU szukanych odcinków (gdyż x1 + x2 = 6)
  - w końcu równanie "nie wiedziało" który z odcinków nazwaliśmy "x".
  
  Odpowiedź to: Szukane długości wynoszą 25 / 6 i 11 / 6
  ==========================
  
  5)
  Zauważ, że trójkąty ABS i DCS są podobne
  (kąty przy S są jednakowe, kąty CAB i DCS oraz DBA i BDC są jednakowe,
  gdyż proste AB i CD są równoległe.
  Skala podobieństwa trójtąta ABS do DCS wynosi k = 3 (bo |AB| : |CD| = 3)
  Wobec tego pole trójkąta ABS = 3^2 * pole trójkąta DCS.
  
  Oznaczmy pole trójkąta DSC przez "P". Wtedy pole trójkąta ABS = 9P.
  
  Teraz zauważ, że pola trójkątów ACD i DBC są równe (ta sama podstawa CD
  i ta sama wysokość, równa wysokości trapezu.
  Pole trójkąta ACD możemy obliczyć bo odcinek AD jest prostopadły
  do podstaw trapezu, czyli jest wysokością trójkąta ADC.
  Pole trójkąta ADC = (1/2) * 8 * 5 = 20.
  
  Pole całego trapezu wynosi: 8 * (5 + 15) / 2 = 80.
  Na to pole składają się:
  - pole 9P trójkąta ASB
  - pola trójkątów ASC i BDC minus pole P trójkąta DCS, liczonego podwójnie.
  Czyli:
  
  80 = 9P + 2 * 20 - P ; stąd:
  40 = 8P
  P = 5
  Pole trójkąta DCS = 5; pole trójkąta DCS = 9P = 45.
  ==========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie