Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 2

  antekL1 16.12.2015 (14:27)

  1A.
  Patrz załącznik "rys1.png".
  Siłę F rozkładamy na:
  pionową składową Fy = F sin(alfa) i poziomą składową Fx = F cos(alfa).
  
  W pionie w dół działa siła ciężkości Q, i składowa Fy; w górę siła reakcji podłoża R.
  Siła R równoważy siły Q + Fy.
  
  W poziomie w prawo działa składowa Fx; w lewo siła tarcia T.
  
  Tutaj od razu UWAGA: W zadaniu podany jest tylko jeden współczynnik tarcia.
  Powinny być dwa: wsp. tarcia statycznego, gdy skrzynia stoi i współczynnik tarcia dynamicznego, gdy skrzynia się porusza (na ogół ten drugi jest mniejszy). Podany jest tylko jeden współczynnik więc muszę założyć, że oba współczynniki tarcia są jednakowe.
  
  Gdy skrzynia stoi powoli zwiększamy siłę F. Siła tarcia T nie jest stała, lecz równoważy siłę Fx do momentu, kiedy jeszcze może. Dopiero gdy skrzynia zaczyna się poruszać siła tarcia przyjmuje stałą wartość.
  
  W granicznym przypadku T = Fx (co do wartości).
  Jeśli T < Fx (co do wartości) skrzynia zacznie się poruszać w prawo.
  
  Wartość siły T = wsp. tarcia razy siła nacisku, czyli suma sił Q + Fy.
  
  T = u * ( Q + Fy ) = u * [ mg + F sin(alfa) ] ; gdzie g - przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s^2
  
  Wstawiamy dane z zadania, aby się przekonać, czy skrzynia ruszy z miejsca.
  
  
  T = 0,2 * (50 * 10 + 200 * 1/2) = 120 N
  
  Składowa pozioma Fx = 200 * cos(30) = 200 * pierwiastek(3) / 2 = około 173 N.
  Wobec tego zachodzi T < Fx. Skrzynia będzie się poruszać
  
  Pod działaniem różnicy sił Fx - T skrzynia porusza się z przyspieszeniem 'a'
  
  m a = Fx - T ; stąd:
  
  a = (Fx - T) / m = [ F cos(alfa) - u * (mg + F sin(alfa)) ] / m
  
  Wymiar wyniku jest oczywisty. Wstawiamy dane.
  Powyżej obliczyliśmy Fx oraz T
  
  a = (173 - 120) / 50 = około 1 m/s^2
  ========================================
  
  2A.
  Patrz załącznik "rys2.png". Trochę tych sił tu jest :)
  UWAGA: Rysunek jest robiony z założeniem, że układ porusza się W PRAWO.
  Nie jest to oczywiste, bo gdyby nie było siły F to większa masa m1 na bardziej stromej ścianie pewnie ściągnęła by układ w lewo. Sprawdzimy zaraz co się dzieje przy podanych w zadaniu wartościach, ale najpierw objaśnijmy działające siły.
  
  Na masę m2 działa:
  siła F, siła ciężkości Q2, siła reakcji podłoża R2, siła tarcia T2
  i siła napięcia nici N2.
  Czerwone wektory Q2r i Q2p są jedynie składowymi siły ciężkości Q2.
  Czerwona siła Q2p jest równoważona przez siłę R2, ale powoduje tarcie.
  Wypadkowa sił F, Q2r, T, N2 powoduje ruch układu w prawo (o ile to możliwe).
  
  Na masę m1 działa:
  siła ciężkości Q1, siła reakcji podłoża R1, siła tarcia T1
  i siła napięcia nici N1.
  Czerwone wektory Q1r i Q1p są jedynie składowymi siły ciężkości Q1.
  Czerwona siła Q1p jest równoważona przez siłę R1, ale powoduje tarcie.
  Wypadkowa sił Q1r, T, N1 powoduje ruch układu w prawo (o ile to możliwe).
  
  -------------------
  Ta część rozwiązania NIE jest konieczna, ale skoro jest to zadanie na poziomie "studia" to taka analiza powinna być dodana :)
  
  Sprawdźmy, czy przy podanych wartościach kątów, siły F, mas i wsp. tarcia możliwy jest ruch w prawo. Najpierw załóżmy, że siły F nie ma. Układ albo porusza się w lewo, albo stoi, nieważne. Zwiększamy siłę F aż do zatrzymania się układu (patrz uwaga w pierwszym zadaniu o statycznym i dynamicznym wsp. tarcia), następnie zwiększamy w dalszym ciągu siłę F, aż układ ruszy w prawo.
  W granicznym przypadku musi zachodzić równowaga (wartości sił)
  
  F + Q2r = N2 + T2 ; dla masy m2
  N1 = Q1r + T1 ; dla masy m1.
  
  Wartości sił N1 i N2 są jednakowe (oznaczyłem te siły inaczej, bo wektory są różne).
  Dodajemy równania stronami, skracamy N1 z N2 i dostajemy warunek:
  
  F = Q1r - Q2r + T1 + T2
  
  Jeszcze jedno założenie: na górze jest kąt prosty i alfa = 90 - beta = 30 stopni.
  Zauważ, że kąt beta jest pomiędzy Q2 i Q2p ; podobnie alfa jest między Q1 i Q1p.
  Wobec tego:
  Q1r = Q1 * sin(alfa) ; Q2r = Q2 * sin(beta)
  T1 = u * Q1p = u * Q1 * cos(alfa) ; T2 = u * Q2p = u * Q2 * cos(beta)
  
  Warunek sprowadza się do:
  
  F = m1 g [ sin(alfa) + u cos(alfa) ] + m2 g [ -sin(beta) + u cos(beta) ] ; czyli
  F / g = m1 [ sin(alfa) + u cos(alfa) ] + m2 g [ -sin(beta) + u cos(beta) ]
  Lewa strona = 60 / 10 = 6.
  Prawa strona = 4,5 [ policzyłem programem za Ciebie :) ]
  Zgadza się - ruch zachodzi w PRAWO.
  ------------------------ koniec wstawki ; wracamy do rozwiązania.
  
  Dla masy m2 z II prawa dynamiki mamy równanie:
  m2 a = F + Q2r - T2 - N2
  
  Dla masy m1 z II prawa dynamiki mamy równanie:
  m1 a = N1 - Q1r - T1
  
  Jeszcze jedno założenie: na górze jest kąt prosty i alfa = 90 - beta = 30 stopni.
  Zauważ, że kąt beta jest pomiędzy Q2 i Q2p ; podobnie alfa jest między Q1 i Q1p.
  Wobec tego:
  
  m2 a = F + Q2 * sin(beta) - u * Q2 * cos(beta) - N2
  m1 a = N1 - Q1 * sin(alfa) - u * Q1 * cos(alfa)
  
  Wartości sił N1 i N2 są jednakowe (oznaczyłem te siły inaczej, bo wektory są różne).
  Dodajemy równania stronami, skracamy N1 z N2 i dostajemy:
  
  (m1 + m2) a = F + g [ m2 sin(beta) - u m2 cos(beta) - m1 sin(alfa) - u m1 cos(alfa) ]
  
  stąd:
  
  a = F / ( m1 + m2) +
  + g * [ sin(beta) - u cos(beta) ] * m2 / (m1 + m2) -
  - g * [ sin(alfa) + u cos(alfa) ] * m1 / (m1 + m2)
  
  Wymiar wyniku jest oczywisty - zauważ, że kg skracają się w ułamkach.
  Podstawiamy dane. Policzyłem to programem, wychodzi:
  a = około 2,5 m/s^2
  
  Co do dyskusji rozwiązania - patrz tekst o sprawdzaniu ruchu w prawo.
  Gdyby wyszło, że ruch odbywa się w lewo to trzeba ZMIENIĆ ZWROTY sił tarcia czyli trzeba by napisać równania:
  m2 a = N2 - F - Q2r - T2
  m1 a = Q1r - T1 - N2
  ========================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv. Pozdrowienia - Antek.

  Załączniki

  • rys1.png (177 KB)
  • rys2.png (208 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie