Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 26.11.2015 (19:32)

  Jeżeli wielomian W(x) ma mieć miejsca zerowe jak w zadaniu
  to można go zapisać jako:
  
  W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3) * V(x), gdzie V(x) jest dowolnym wielomianem.
  
  [ bo rozwiązaniem równania: x (x - 1) (x - 2) (x - 3) * V(x) = 0 są
  NA PEWNO liczby 0, 1, 2, 3; i być może jakieś inne x, ale to nas nie obchodzi ].
  
  Zadanie sprowadza się więc do udowodnienia (dla całkowitej liczby "k"),
  że iloczyn:
  
  k (k - 1) (k - 2) (k - 3)
  
  jest podzielny przez 24.
  
  Robimy dowód.
  Zauważ najpierw, że liczby w nawiasach to CZTERY KOLEJNE liczby całkowite,
  np: 1, 2, 3, 4 lub 10, 11, 12, 13 lub 15, 16, 17, 18
  
  W zasadzie wystarczy powiedzieć że jedna z 4 kolejnych liczb
  jest podzielna przez 2, jakaś przez 3, jakaś przez 4, a ponieważ 2*3*4 = 24
  to by wystarczyło. Ale bądźmy dokładni:
  
  Wśród tych czterech liczb NA PEWNO istnieje:
  - jedna parzysta, druga inna od pierwszej też parzysta, i któraś z nich dzieli się przez 4
  - jedna podzielna przez 3.
  
  Mamy trzy sytuacje:
  
  A) te liczby parzyste NIE dzielą się przez 3 (np.: 1,2,3,4)
  Wtedy iloczyn ten, co wyżej
  dzieli się przez 2, przez 3 i przez 4, a ponieważ 2*4*3 = 24 to musi się dzielić przez 24.
  [ zauważ: Jedna parzysta i druga parzysta odległa o 2 od pierwszej,
  to któraś MUSI być podzielna przez 4 ]
  
  B) Jakaś parzysta liczba dzieli się przez 3 (ale nie przez 4); np: 6, 7, 8, 9
  A skoro jest parzysta [ tutaj: 6 ] to dzieli się przez 2 i przez 3, czyli przez 6,
  ale wtedy ta druga parzysta [ tutaj: 8]
  dzieli się przez 4, więc iloczyn dzieli się przez 4 * 6 = 24
  
  C) Jakaś parzysta liczba dzieli się przez 3 i też przez 4; np: 12, 13, 14, 15 [ tutaj: 12 ]
  czyli dzieli się przez 12. Wtedy ta druga parzysta [ tutaj: 14 ]
  dzieli się przez 2, więc iloczyn dzieli się przez 2 * 12 = 24
  =================
  
  Wydaje mi się, że to co napisałem wyżej jest prostsze od podstawiania za "k"
  kolejno:
  k = 4n
  k = 4n + 1
  k = 4n + 2
  k = 4n + 3
  [ dalej nie ma sensu, bo k = 4n + 4 = 4 (n+1) = 4m ; wracamy do początku ]
  i przeliczanie całego iloczynu k (k - 1) (k - 2) (k - 3) na "język n"
  i pokazywanie, że jest to 24 * coś albo jakoś w tym stylu.
  Upierdliwe i niepotrzebne obliczenia.
  Ale jak zapisać mój dowód w "wymaganym języku" uczonym w szkole
  to Ci naprawdę nie umiem powiedzieć, zbyt dawno chodziłem do liceum.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv :)
  
  A, jeszcze zauważ, że dowód jest prawdziwy także dla liczb ujemnych,
  bo o znakach nie ma w nim mowy.
  
  - albo te 4 kolejne liczby zawierają zero - ale wtedy ich iloczyn, czyli liczba zero jest znakomicie podzielna przez 24
  - albo są dodatnie (to, co na górze)
  - albo są wszystkie ujemne, ale wtedy cztery minusy w iloczynie dają plus
  i można użyć dowodu jak dla liczb dodatnich.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie