Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 21.11.2015 (09:51)

  [ Rysunki robiłem darmowym programem "GeoGebra" - polecam ! ]
  
  Zadanie 4 ( patrz załącznik "rysunek4.pdf" )
  Trójkąt ABC ma pole P.
  Prosta DE łączy środki boków AB i CB.
  Trójkąt DEB jest podobny do trójkąta ABC, ponieważ odpowiednie kąty obu trójkątów są równe - kąt ABC jest wspólny, a kąty BAC i BDE są równe, ponieważ równoległe proste AC i DE przecinają prostą AB.
  
  Wobec tego, ponieważ |DB| = (1/2) |AB|, to skala podobieństwa trójkata DEB do ABC
  wynosi 1 / 2.
  
  Stąd wniosek, że pole trójkąta DEB jest równe 1 /4 P
  (pola figur podobnych mają się do siebie jak kwadrat skali podobieństwa).
  
  Pole trapezu ABED = P - (1/4) P = (3 / 4) P
  ======================
  
  Zadanie 5. ( patrz załącznik "rysunek5.pdf" )
  W każdym z podpunktów trzeba znaleźć skalę podobieństwa "k" mniejszego 6-kąta do większego. Wtedy pole mniejszego sześciokąta jest równe P = 16 * k^2 [ ^2 to "do kwadratu" ].
  
  a) Sześciokąt po lewej stronie, patrz rysunek po lewej stronie w załączniku.
  Odcinek DE jest jednym z boków małego 6-kąta.
  Odcinek BF jest wysokością równoramiennego trójkąta DBE.
  Kąt DBE = 120 stopni (jest to kąt przy wierzchołku 6-kąta foremnego), więc kąt EBF = 60.
  Wobec tego:
  
  |EF| = |EB| * sin(60) = |EB| * pierwiastek(3) / 2
  
  Ale odcinek EF jest połową boku małego sześciokąta, a odcinek EB - połową boku dużego sześciokąta. Skala podobieństwa wynosi więc:
  
  k = |EF| / |EB| = pierwiastek(3) / 2
  
  Pole P małego 6-kąta wynosi: P = 16* [pierwiastek(3) / 2]^2 = 16 * (3/4) = 12
  
  b) Sześciokąt w środku.
  Tu jest łatwo. Zauważ, że przekątna małego sześciokąta jest połową przekątnej dużego, więc skala podobieństwa k = 1/2, czyli pole małego 6-kąta jest równe:
  
  P = 16 * (1/2)^2 = 16 * (1/4) = 4
  
  c) Sześciokąt po prawej stronie, patrz rysunek po prawej stronie w załączniku.
  Odcinek DE jest bokiem małego sześciokąta.
  Szukamy skali podobieństwa czyli k = |DE| / |AB|.
  Zauważ kilka związków na tym rysunku:
  
  - trójkąt ABC jest równoramienny i kąt ABC = 120 stopni więc kąt CAB = 30 stopni.
  Takie same są kąty ACB, ABD i EBC. Kąt BDE jest więc równy 60 stopni.
  
  - kąty ADB i BEC są więc równe 120 stopni, czyli kąty BDE i DEB mają po 60 stopni,
  więc trójkąt BDE jest równoboczny,
  stąd i z poprzednich twierdzeń wniosek, że następujące odcinki są równe:
  
  |BD| = |DE| = |AD| = |CE| ; czyli |DE| = (1/3) * |AC|
  
  To już prawie koniec :) Mamy |AC| = 2 * |AF| ; ale |AF| = |AB| * cos(30) więc:
  
  |AC| = 2 * |AB| * cos(30) = 2 * |AB| * pierwiastek(3) / 2 = |AB| * pierwiastek(3)
  
  |DE| = (1/3) * |AB| * pierwiastek(3) ; więc skala podobieństwa:
  
  k = |DE| / |AB| = pierwiastek(3) / 3 ; więc pole małego sześciokąta wynosi:
  
  P = 16 * [pierwiastek(3) / 3]^2 = 16 / 3 = 5 i 1/3
  ======================

  Załączniki

  • rysunek4.pdf (5 KB)
  • rysunek5.pdf (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie