Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.9.2015 (12:57)

  11a)
  
  Załącznik: Plik "11a.pdf"
  Najpierw rysujemy funkcję g(x) = sin x [ czerwona linia ]
  Następnie "odbijamy lustrzanie" względem osi OX wszelkie fragmenty tego wykresu
  które leżą pod osią OX. W ten sposób tworzymy wykres | sin x | (nie zaznaczony).
  Na końcu "rozciągamy" w pionie trzykrotnie wykres | sin x | i dostajemy zieloną linię.
  To jest szukany wykres f(x).
  
  Jak widać zbiorem wartości jest przedział ZW = < 0; 3 >
  
  Aby znaleźć ilość rozwiązań f(x) = m rysujemy poziome linie
  - takie, jak np. przerywane odcinki CD i EF.
  
  Wartość "m" jest na osi y, np. w punkcie C jest m = 3; w punkcie E jest m = 2.
  
  Zauważ, że jeżeli m > 3 lub m < 0 to kreskowane linie nie przecinają wykresu
  i równanie f(x) = m ma ZERO rozwiązań.
  
  Jeżeli m = 0 (tzn. bierzemy przecięcia wykresu z osią OX)
  to mamy 3 rozwiązania w punktach x=0; x=pi; x = 2pi
  
  Dla m w przedziale (0;3) [ odcinki typu EF ] wykres jest przecinany 4 razy.
  
  Wreszcie dla m = 3 [ odcinek CD ] mamy 2 rozwiązania w maksimach f(x)
  czyli dla x=(1/2)pi i x=(3/2)pi. W sumie:
  
  Dla m z przedziału ( - oo; 0 ) jest 0 rozwiązań.
  Dla m = 0 są 3 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 0; 3 ) są 4 rozwiązania.
  Dla m = 3 są 2 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 3; +oo ) jest 0 rozwiązań.
  =========================================================
  
  11b)
  
  Załącznik: Plik "11b.pdf"
  Najpierw rysujemy funkcję g(x) = sin(2x) [ czerwona linia ]
  Zwróć uwagę, że sin(2x) ma okres o długości PI czyli przedziale <0; 2pi>
  mieszczą się DWA okresy badanej funkcji.
  Następnie przesuwamy wykres o 1 w pionie i dostajemy zieloną linię
  To jest szukany wykres f(x).
  
  Jak widać zbiorem wartości jest przedział ZW = < 0; 2 >
  
  Aby znaleźć ilość rozwiązań f(x) = m rysujemy poziome linie jak poprzednio.
  
  Zauważ, że jeżeli m > 2 lub m < 0 to kreskowane linie nie przecinają wykresu
  i równanie f(x) = m ma ZERO rozwiązań.
  
  Jeżeli m = 0 (tzn. bierzemy przecięcia wykresu z osią OX)
  to mamy 2 rozwiązania w minimach funkcji f(x).
  Podobnie jeśli m = 2 mamy też 2 rozwiązania w maksimach f(x)
  
  W przedziale (0; 2) mamy po 4 rozwiązania (linie IJ i CD), ALE:
  gdy m = 1 (linia GH) to funkcja sin(2x) + 1 = 1 aż w PIĘCIU punktach,
  bo zauważ, że czerwona sinusoida przecina oś OX w punktach odległych o pi/2
  i takich punktów jest pięć: x = 0; (1/2)pi; pi; (3/2)pi; 2pi
  więc zielona sinusoida ma wartość f(x) = 1 także w pięciu punktach. Czyli:
  
  Dla m z przedziału ( - oo; 0 ) jest 0 rozwiązań.
  Dla m = 0 są 2 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 0; 1 ) są 4 rozwiązania.
  Dla m = 1 jest 5 rozwiązań
  Dla m z przedziału ( 1; 2 ) są 4 rozwiązania.
  Dla m = 2 są 2 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 2; +oo ) jest 0 rozwiązań.
  =========================================================
  
  11c)
  
  Załącznik: Plik "11c.pdf"
  Tu jest sporo przekształceń:)
  Najpierw rysujemy funkcję g(x) = sin(x) [ niebieska linia ]
  Następnie przesuwamy wykres o pi/2 w PRAWO aby dostać sin(x - pi/2)
  (czarna przerywana linia)
  Potem realizujemy wartość bezwzględną | sin(x - pi/2) | (czerwona linia)
  przez "lustrzane odbicie" fragmentów leżących poniżej osi OX.
  W końcu przesuwamy wykres o 1 w pionie i dostajemy zieloną linię.
  To jest szukany wykres f(x).
  
  Jak widać zbiorem wartości jest przedział ZW = < 1; 2 >
  
  Aby znaleźć ilość rozwiązań f(x) = m rysujemy poziome linie jak poprzednio.
  
  Zauważ, że jeżeli m > 2 lub m < 1 to kreskowane linie nie przecinają wykresu
  i równanie f(x) = m ma ZERO rozwiązań.
  
  Jeżeli m = 1 to mamy 2 rozwiązania w x=(1/2)pi i (3/2)pi (linia IJ)
  Jeżeli m = 2 to mamy 3 rozwiązania w x=0; pi; 2pi (linia GH)
  
  W przedziale (1; 2) mamy po 4 rozwiązania (lina CD). Czyli:
  
  Dla m z przedziału ( - oo; 1 ) jest 0 rozwiązań.
  Dla m = 1 są 2 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 1; 2 ) są 4 rozwiązania.
  Dla m = 2 są 3 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 2; +oo ) jest 0 rozwiązań.
  =========================================================
  
  11d)
  
  Załącznik: Plik "11d.pdf"
  Tu jest też kilka przekształceń:)
  Najpierw rysujemy funkcję g(x) = cos(x) [ niebieska linia ]
  Następnie przesuwamy wykres o pi/2 w LEWO aby dostać cos(x + pi/2) (czarna linia).
  Potem mnożymy przez 2 (linia nie narysowana, ale po prostu "rozciągamy"
  czarny wykres dwukrotnie w pionie)
  Na końcu odbijamy ten ostatni wykres względem osi OX aby uwzględnić znak minus.
  (zielona linia)
  To jest szukany wykres f(x).
  
  Zwróć uwagę, że jest to wykres identyczny z wykresem g(x) = 2 * sin x.
  Jak widać zbiorem wartości jest przedział ZW = < -2; 2 >
  
  Aby znaleźć ilość rozwiązań f(x) = m rysujemy poziome linie jak poprzednio.
  
  Zauważ, że jeżeli m > 2 lub m < -2 to kreskowane linie nie przecinają wykresu
  i równanie f(x) = m ma ZERO rozwiązań.
  
  Jeżeli m = 2 lub m = -2 to mamy 1 rozwiązanie (linie EF i IJ)
  Jeżeli m = 0 to mamy 3 rozwiązania w x=0; pi; 2pi (linia GH)
  
  Poza tym mamy 2 rozwiązania. (linie CD i KL). Czyli:
  
  Dla m z przedziału ( - oo; - 2 ) jest 0 rozwiązań.
  Dla m = -2 jest 1 rozwiązanie.
  Dla m z przedziału ( - 2; 0 ) są 2 rozwiązania.
  Dla m = 0 są 3 rozwiązania.
  Dla m z przedziału ( 0; 2 ) są 2 rozwiązania.
  Dla m = 2 jest 1 rozwiązanie.
  Dla m z przedziału ( 2; +oo ) jest 0 rozwiązań.
  =========================================================
  
  
  Proszę, zamieść punkty (e) i (f) osobno, bo ten tekst staje się za długi.
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • 11a.pdf (15 KB)

  • 11b.pdf (14 KB)

  • 11c.pdf (16 KB)

  • 11d.pdf (16 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie