Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.9.2014 (13:54)

  Zadanie 3.
  Krzywe: x^2 + y^2 = 6 oraz y = x^2.
  Pierwsza krzywa jest okręgiem o środku w (0,0) i promieniu = pierwiastek(6).
  Druga krzywa to parabola w kształcie "U" i wierzchołku w (0,0).
  Zrób proszę rysunek, to zauważysz, że jest on symetryczny względem osi Y,
  wystarczy więc policzyć pole między krzywymi po prawej stronie tej osi
  i pomnożyć wynik przez 2.
  
  Znajdźmy najpierw położenie puntów przecięcia się krzywych.
  Interesuje nas współrzędna "x0" tego punktu, bo całkować będziemy
  po pionowych słupkach w przedziale x od 0 do x0.
  
  Podstawiamy y = x^2 do równania okręgu
  
  x^2 + x^4 - 6 = 0
  
  W tym 2-kwadratowym równaniu zamieniamy t = x^2
  
  t^2 + t - 6 = 0 ; (wiem, że można to zrobić od razu na "y", nie chciałem mylić zmiennych)
  
  Rozwiązaniami są t1 = -3 (odrzucamy, bo t = x^2) oraz t2 = 2.
  Daje to x0 = pierwiastek(2).
  
  Punkt ten leży wewnątrz przedziału [ 0, pierwiastek(6) ]
  więc nie ma żadnych "dziwności". Równanie okręgu przedstawiamy w postaci:
  
  y = pierwiastek(6 - x^2
  
  W przedziale od 0 do pierwiastek(2) okrąg leży wyżej niż parabola,
  co daje na pole P podwójną całkę:
  
  P = 2\int\limits_0^{\sqrt{2}}\,\left[\int\limits_{x^2}^{\sqrt{6-x^2}} 1\cdot dy\right ]\,dx
  
  Całkowanie po y (wewnętrzna całka, długość pionowego paska między krzywymi)
  daje po prostu pierwiastek(6 - x^2) - x^2.
  Liczymy zewnętrzną całkę:
  
  P = 2\int\limits_0^{\sqrt{2}}\,\left(\sqrt{6-x^2}-x^2 \right )\,dx
  
  Trudna jest ta całka z pierwiastek(6 - x^2).
  Jak ją "rozgryźć" piszę na końcu, na razie podaję wynik który dostałem
  programem do symbolicznego całkowania:
  
  P = 2\,\left[\frac{1}{2}x\sqrt{6-x^2}+3\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{6}} \right ) -\frac{1}{3}x^3 \right ]_0^{\sqrt{2}}
  
  Dla x = 0 dostajemy z całości zero, dla x = pierwiastek(2) mamy
  
  P = \frac{2}{3}\sqrt{2}+6\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right )
  
  Dalej to już kalkulator, dostajemy około 3,26
  ================================================
  
  Całka z pierwiastek(6 - x^2), jedna z metod:
  1) wyciągamy 6 przed pierwiastek mamy
  pierwiastek(6) * całka z pierwiastek [ 1 - ( x / pierwiastek(6))^2 ]
  2) podstawiamy t = x / pierwiastek(6) ; liczymy dt = dx / pierwiastek(6).
  Mamy całkę z pierwiastek(1 - t^2)
  3) podstawiamy t = sin u; wtedy dt = cos u * du,
  a pod pierwiastkiem jest 1 - sin^2 u czyli cos u. W rezultacie mamy:
  całka z cos^u du
  4) Rozpisujemy cos^2 u = (1/2) [1 + cos(2u) ] i mamy:
  (1/2) * całka z [1 + cos(2u) ] du
  
  no i dalej to już z górki. W wyniku mamy u / 2 + sin(2u) / 4;
  składnik "u" daje arcsin(t), rozpisujemy sin(2u) = 2sin(u) cos(u) czyli na
  2 * t * pierwiastek(1-t^2)
  i wracamy do zmiennej "x". Pomylić można się w około 10 miejscach :)
  
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie