Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 11.11.2013 (22:36)

  Poprowadź na rysunku następujące linie: AC, BD i AD.
  Udowodnimy, że trójkąty ACP i BDP są - o dziwo - podobne :)
  
  Dowód:
  Kąty ACD i ABD są oparte na tej samej cięciwie AD,
  ale leżą po jej przeciwnych stronach więc: kąt ABD = 180 stopni - kąt ACD.
  
  Kąt DBP jest równy 180 stopni - kąt ABD (jako dopełniający do prostej)
  więc, uwzględniając związek napisany wyżej:
  
  kąt DBP = 180 - (180 - kąt ACD) = kąt ACD.
  
  Ponieważ kąt BPD jest wspólny dla obu trójkątów APC i BPD
  to oba trójkąty mają odpowiednie kąty równe, więc są podobne.
  Koniec dowodu.
  
  Podobieństwo tych trójkątów pozwala na napisanie proporcji
  (uważaj na boki trójkątów - odcinek BP odpowiada CP i odcinek DP odpowiada AP)
  
  |AP| / |DP| = |CP| / |BP|
  
  Wpisujemy dane z rysunku i uwzględniamy fakty, że:
  |AP| = |AB| + 6
  |CP| = |CD| + 5
  
  czyli:
  
  ( |AB| + 6 ) / 5 = ( |CD| + 5 ) / 6 <---------- to jest pierwsze równanie
  
  Z zadania wiadomo, że |CD| = |AB| + 5 <---- to jest drugie równanie.
  
  Podstawiamy |CD| z drugiego do pierwszego równania:
  
  ( |AB| + 6 ) / 5 = ( |AB| + 10 ) / 6 ; wymnażamy proporcję "krzyżowo"
  
  6 * (|AB| + 6) = 5 * ( |AB| + 10 ) ; wymnażamy nawiasy
  
  6 |AB| = 36 = 5 |AB| + 50 ; stąd
  
  |AB| = 50 - 36 = 14
  
  |CD| jest o 5 dłuższa od |AB| czyli |CD| = 19.
  ========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie