Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 10.6.2012 (12:15)

  Zakładamy, że w chwili czasu t = 0 ciało znajdowało się w położeniu równowagi.
  Jego energia potencjalna była zerem. Energię potencjalną opisuje wzór:
  
  E_p = \frac{1}{2}m\,k\,A^2\,\sin^2(\omega\,t)
  
  gdzie A - amplituda drgań, k - współczynnik sprężystości, omega - częstotliwość kątowa drgań. Te wielkości są od siebie zależne (z wyjątkiem amplitudy), ale nie to jest treścią zadania.
  Istotne jest, że energia potencjalna zależy od kwadratu funkcji sinus (przy założeniach jak na początku).
  Energia kinetyczna to energia całkowita minus potencjalna (z zasady zachowania energii). Wobec tego:
  
  E_k = E - E_p = \frac{1}{2}m\,k\,A^2 - \frac{1}{2}m\,k\,A^2\,\sin^2(\omega\,t) = \frac{1}{2}m\,k\,A^2\,\cos^2(\omega\,t)
  
  W równaniu podstawiłem: Maksymalna energia E = tyle, ile wynosi Ep gdy sinus jest jedynką i zastosowałem "jedynkę trygonometryczną" aby zamienić kawałek: 1 - sinus kwadrat na kosinus kwadrat.
  
  Rysunki w załączniku. "energie.jpg" to wykres obu energii. Na poziomej osi jest czas, założyłem omega = 1, nie chciało mi się - szczerze mówiąc - opisywać tej osi w jednostkach "pi", na następnym rysunku jest wyraźniej.
  Czarna linia to energia potencjalna, czerwona - kinetyczna. Czarna linia to kwadrat sinusa, czerwona - kwadrat kosinusa.
  Na pionowej osi jest energia, skalowana tak, aby całe wyrażenie przed sinusem kwadrat w powyższych wzorach było równe 1.
  
  Na rysunku "energie1.jpg" "rozciągnąłem" wykres tak, aby w poziomie było tylko "pi" - zobacz, że czarna sinusoida dotyka osi poziomej w okolicy 3,14). Rysunek przedstawia pół okresu.
  Teraz możemy odpowiadać na pytania.
  
  a)
  1/4 okresu. To jest w okolicy 1,5 (czyli pi / 2). Czerwona linia, energia kinetyczna, dotyka tutaj zera. Czyli ciało ma zerową prędkość. Cała energia to energia potencjalna - czarna linia w pi/2 ma maksimum. Odpowiada to maksymalnemu wychyleniu ciała z położenia równowagi, gdy zatrzymuje się ono i zaczyna zawracać.
  
  b) 1/2 okresu. W okolicy 3,14 czyli pi. Czerwona linia energii kinetycznej ma maksimum - ciało osiąga maksymalną prędkość, wychylenie (energia potencjalna) jest zerowe. Odpowiada to przejściu przez położenie równowagi.
  
  Jak coś niejasne - pisz na priv.
  
  Antek

  Załączniki

  • energie.jpg (14 KB)
  • energie1.jpg (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie