Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 9.5.2012 (09:49)

  Zad. 1.
  Mamy takie liczby: -4, x, y, 50
  W ciągu geometrycznym iloczyn sąsiednich wyrazów jest równy kwadratowi środkowego, stąd pierwsze równanie:
  
  (-4) \cdot y = x^2
  
  W ciągu arytmetycznym suma sąsiednich wyrazów jest równa podwojonemu środkowemu, stąd drugie równanie:
  
  x + 50 = 2y
  
  Z drugiego równania x = 2y - 50, wstawiamy do pierwszego:
  
  -4y = (2y-50)^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad y^2 - 49y + 625 = 0
  
  Niestety to równanie kwadratowe nie ma rozwiązania. Zakładam więc pomyłkę w treści zadania:, powinno być: pierwsze 3 liczby mają tworzyć ciąg arytmetyczny, ostatnie 3 geometryczny. Wtedy:
  
  -4 + y = 2x
  oraz
  50x = y^2
  
  Z pierwszego równania y = 2x + 4, wstawiamy do drugiego:
  
  50x = (2x+4)^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad 4x^2+34x-16 = 0
  
  Rozwiązanie tego równania kwadratowego daje:
  x1 = 1/2; x2 = 8, czyli y1 = 5; y2 = 20.
  
  Rozwiązania są dwa: -4, 1/2, 5, 50 oraz -4, 8, 20, 50
  
  ============================
  
  Zad. 2.
  
  Niedokładnie jak w zad 1, bo mamy 3 liczby x, y, z. Suma wynosi (pierwsze równanie)
  
  x + y + z = 9
  
  Z warunków jak w zadaniu 1 mamy 2 inne równania:
  
  x + z = 2y
  
  oraz
  
  xz = y^2
  
  Z pierwszego równania x + z = 9 - y, wstawiamy do drugiego: 9 - y = 2y.
  y = 3
  Z pierwszego równania x + 3 + z = 9 więc z = 6 - x. Wstawiamy y, z do trzeciego:
  
  x(6-x) = 9 \qquad\mbox{zatem}\qquad (x-3)^2 = 0
  
  Rozwiązaniem są liczby: 3, 3, 3. Dlaczego nie, dobry ciąg arytmetyczny z krokiem zero i geometryczny z ilorazem 1. :)
  
  ============================
  
  Zad. 3.
  Ponownie mamy liczby x,y,z. Pierwsze równanie:
  
  x+y+z = 26
  
  Drugie równanie z ciągu geometrycznego:
  
  xz=y^2
  
  Nad trzecim równaniem trzeba popracować. Niech różnica ciągu arytmetycznego wynosi r. Wtedy:
  y = x + r
  z = x + 4r
  Więc r = y - x czyli:
  
  z = x + 4(y-x)
  
  Rozwiązujemy ten układ równań jak w poprzednim zadaniu. Podaję wynik, bo szczerze mi się nie chce powtarzać tekstów, jak wyżej. Są 2 rozwiązania:
  2, 6, 18 oraz x = y = z = 26/3. Ta druga trójka - patrz poprzednie zadanie.
  
  ============================
  
  Zad. 4.
  Boki to - od najmniejszego - a, b, c. "c" to przeciwprostokątna.
  Z tw. Pitagorasa mamy pierwsze równanie:
  
  c^2 = a^2 + b^2
  
  Ze wzoru na pole trójkąta mamy drugie równanie:
  
  \frac{1}{2}ab = 600
  
  Z warunku na ciąg arytmetyczny dostajemy trzecie równanie:
  
  a + c = 2b
  
  Rozwiązania to trójka liczb: 30, 40, 50.
  
  Nie sugeruję metody rozwiązania, ja zrobiłbym tak: Z trzeciego c = 2b - a, wstawiam do pierwszego, a iloczyn ab wstawiam z drugiego. Dostaję po przekształceniach:
  
  a^2+b^2 = (2b-a)^2 = 4b^2 + a^2 - 4800
  
  stąd: kwadrat 'a' się skraca, b = 40, a reszta to już łatwo.
  
  ============================
  
  Zad 5. to chyba poprawnie napisane zadanie 1.
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 9.5.2012 (10:15)

    Zapomniałem, a już nie mogę edytować. Zadanie 4:
    Uwaga: Dostajemy też rozwiązania ujemne, b = minus 40. W zasadzie długość boku powinna być dodatnia, więc te ujemne trzeba odrzucić. Ale jest to kwestia interpretacji, jak Cię ciekawi, napisz na priv.