Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 26.2.2012 (00:15)

  Długość dipola oznaczę dużą literą L, aby się nie myliła z cyfrą 1.
  
  a) Niech r będzie odległością punktu P od środka dipola.
  
  ( Dopisane później: oops, w zadaniu było "x", nie "r", ale nie chce mi się zmieniać).
  
  Wtedy r - L/2 jest odległością ładunku +q od punktu P, r + L/2 jest odległością ładunku -q. Wektory pola elektrycznego od obu ładunków mają przeciwny zwrot. Wartość wektora wypadkowego wynosi więc:
  
  E = E_+ - E_- = \frac{kQ}{(r-L/2)^2} - \frac{kQ}{(r+L/2)^2}
  
  [ stała k to 1 / (4 pi epsilon0), jak ktoś woli ]
  
  Sprowadzam różnicę ułamków do wspólnego mianownika:
  
  E = kQ\,\frac{(r + L/2)^2 - (r - L/2)^2}{(r^2 - (L/2)^2)^2} =
  
  = kQ\,\frac{r^2 + rL + (L/2)^2 - r^2 +rL - (L/2)^2}{(r^2 - (L/2)^2)^2}
  
  W liczniku upraszcza się kwadrat r oraz kwadrat L/2. W mianowniku można pominąć L/2 jeżeli r >> L. Zostaje:
  
  E \,\approx\, kQ\,\frac{2rL}{r^4} = \frac{2kQ}{r^3}
  
  czyli wartość natężenie jest odwrotnie proporcjonalna do sześcianu r.
  
  b) Analogiczne rozumowanie, tylko teraz są pierwsze potęgi w mianowniku.
  
  V = V_+ - V_- = \frac{kQ}{r-L/2} - \frac{kQ}{r+L/2}
  
  Sprowadzam różnicę ułamków do wspólnego mianownika:
  
  V = kQ\,\frac{r + L/2 - r + L/2}{r^2 - (L/2)^2}
  
  W liczniku upraszcza się r. W mianowniku można pominąć L/2 jeżeli r >> L. Zostaje:
  
  V \,\approx\, kQ\,\frac{2L}{r^2}
  
  czyli wartość potencjału jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu r.
  
  c)
  Kwadrat odległości punktu R od ładunków to teraz z twierdzenia Pitagorasa:
  
  r^2 = y^2 + (L/2)^2.
  
  Wektory natężenia od obu ładunków NIE są równoległe lecz tworzą literę V przekręconą o kąt 90 stopni przeciwnie do wskazówek zegara. Dla y >> L ramiona tego V są prawie równolegle. Pionowe składowe
  obu wektorów znoszą się, a poziome dodają. Stosunek poziomej składowej do całego wektora jest równy stosunkowi L/2 do r (dorysuj sobie odpowiednie kąty w załączniku). Wobec tego wartość natężenia pola wynosi:
  
  E = 2\cdot\frac{kQ}{r^2}\cdot\frac{L/2}{r} = \frac{kQ}{r^3}
  
  Dla dużych y odległość r jest praktycznie równa y, czyli wartość natężenia pola jest odwrotnie proporcjonalna do trzeciej potęgi y. (zaniedbuje się L/2 w porównaniu z y we wzorze na r).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie