Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 20.9.2011 (12:22)

  Zadanie 96.
  Numeruję losy 1,2,3,4,5. Kolejność losów NIE liczy się.
  Zdarzenie elementarne to para {a, b} gdzie a, b są elementami {1,2,3,4,5}.
  Jest 5! / (2! * 3!) = 10 zdarzeń elementarnych (wzór na kombinacje 2 z 5)
  m(omega) = 10.
  Zamiast prawd. zdarzenia sprzyjającego A"co najmniej 1 wygrywający") łatwiej jest policzyć prawd. zdarzenia przeciwnego A' ("zero wygrywających"). Wtedy oba losy muszę wybrać z 3 elementowego zbioru losów pustych. Są to kombinacje 2 z 3 (mnożone przez 0 z 2 wygrywających, ale ta kombinacja daje 1)
  m(A') = 3! / (2! * 1!) = 3.
  Wobec tego m(A) = m(omega) - m(A') = 10 - 3 = 7.
  p(A) = m(A) / m(omega) = 7 / 10
  
  Zadanie 98.
  Oznaczam x - ilość stron czytanych w ciągu dnia.
  Ilość dni potrzebnych do przeczytania książki y = 480 / x
  Gdyby czytał o 8 więcej dziennie (czyli x + 8), przeczyta książkę w y - 3 dni, stąd:
  
  y - 3 = 480 / (x + 8). Postawiam z pierwszego równania y = 480 / x i dostaję:
  
  \frac{480}{x} - 3 = \frac{480}{x+8}
  
  Sprowadzam do wspólnego mianownika, mnożę przez x * (x + 8). Mam pewność, że wolno mi, bo x jest dodatnie wiec mianowniki nie mogą być zerami.
  
  480 * (x + 8) - 3 * x * (x + 8) = 480 * x
  
  Po wymnożeniu nawiasów, podzieleniu przez -3 i przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę mam:
  x^2 + 8x - 1280 = 0
  Wyróżnik = 8^2 + 4 * 1280 = 5184 = 72^2
  x1 = (-8 - 72) / 2 ; odpada bo ujemne
  x2 = (-8 + 72) / 2 = 32 strony w ciągu dnia.
  Całą książkę uczeń czytał przez 480 / 32 = 15 dni.
  
  Zadanie 99.
  Wypisuję informacje dane w zadaniu:
  a * c = b^2 z właściwości ciągu geometrycznego
  a + b + c = 93 jako suma liczb
  b = a + r (gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, b jest drugim wyrazem)
  c = a + 6r (c jest siódmym wyrazem).
  
  Pozbywam się r z przedostatniego równania: r = b - a,
  wstawiam to do równania na c = a + 6r
  Wypisze wszystkie 3 równania razem:
  
  b^2 = a * c
  a + b + c = 93
  c = a + 6 * (b - a) = 6b - 5a
  
  Chcę a i c wyrazić przez b i podstawić do pierwszego równania.
  "c" z ostatniego równania wstawiam do środkowego:
  a + b + 6b - 5a = 7b - 4a = 93 ; stąd a= (7b - 93) / 4.
  Wstawiam a do równania na c
  c = 6b - 5 * (7b - 93) / 4 = (24b - 35b + 465) / 4 = (465 - 11b) / 4
  
  Teraz a i c wstawiam do b^2 = a * c. Dostaję dość niemiłe równanie kwadratowe:
  b^2 = \frac{7b-93}{4}\cdot\frac{465 - 11b}{4}
  Mnożę przez 16, dzielę przez 93, porządkuję składniki:
  b^2 - 46b + 465 = 0
  Wyróżnik = 46^2 - 4 * 465 = 256 = 16^2
  b1 = (46 - 16) / 2 = 15
  b2 = (46 + 16) / 2 = 31
  Znając b wyliczam a oraz c.
  a1 = (7 * 15 - 93) / 4 = 3 ; c1 = (465 - 11 * 15) / 4 = 75
  a2 = (7 * 31 - 93) / 4 = 31 ; c1 = (465 - 11 * 31) / 4 = 31
  
  Istnieją dwa rozwiązania: {3,15,75} oraz {31,31,31}
  Drugie rozwiązanie jest też dobre, bo ciąg geometryczny ma iloraz 1, a ciąg arytmetyczny różnicę 0. Też dobre ciągi. Rozwiązanie 1: ciąg geometryczny na iloraz 5, ciąg arytmetyczny różnicę 10.
  
  Zadanie 100.
  Wzór ma mieć postać: an = a1 + (n-1) * r
  Trzeba wyznaczyć pierwszy wyraz a1 i różnicę r.
  Wypisuję informacje z zadania:
  5 a1 + 10 r = 10 (jako suma pierwszych 5 wyrazów)
  (a1 + 2r) * (a1 + 12r) = (a1 + 4r)^2 (z własności ciągu geometrycznego i odpowiednich wyrazów ciągu arytmetycznego).
  
  Z pierwszego równania mam a1 = 2 - 2r. Wstawiam do drugiego:
  (2- 2r + 2r) * (2 - 2r + 12r) = (2 - 2r + 4r)^2 ; czyli po wymnożeniu nawiasów:
  4 + 20r = 4 + 8r + 4r^2 ; czyli, po podzieleniu przez 4 i porządkowaniu
  r^2 - 3r = 0; daje to:
  r1 = 0 oraz a1 = 2
  r2 = 3 oraz a1 = -4
  
  Są dwa rozwiązania:
  Pierwsze: an = 2 ciąg stały
  Drugie: an = -4 + 3 * (n-1)
  Pierwsze rozwiazanie spełnia warunki zadania w sposób oczywisty, sprawdzam drugie:
  Suma pierwszych 5 wyrazów ciągu = -4 -1 + 2 + 5 + 8 = 10. Pasuje.
  Ciąg geometryczny tworzą wyrazy: 2, 8, 32. ; 2 * 32 = 8^2. pasuje.
  
  Zadanie 101.
  Zrób rysunek!
  Jeśli bym znał długość boku podstawy (oznaczam go przez "a") i wysokość "h" trójkąta, będącego ścianą boczną to szukane pole powierzchni bocznej wynosi:
  P = 4 * a * h / 2 = 2 * a * h. Dążę do wyznaczenia a, h.
  
  Z zadania wynika, że AC jest przekątną podstawy (kwadratu) czyli
  AC = a * pierw(2).
  Następnie: AC : AS = 10 :13 więc AS = AC * 13 / 10 = a * 13 * pierw(2) / 10.
  Wykorzystuje teraz pole trójkąta ACS, równe 120.
  Wysokość H (w odróżnieniu od h !) tego trójkąta, bok AS i połowa przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny więc:
  H^2 = (AS)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{13a\sqrt{2}}{10}\left)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{72}{25}a^2
  Zatem H = a * pierw(72) / 5
  Pole trójkąta ACS = AC * H / 2 = a^2 * pierw(2) * pierw(72) / 10 = 120 ; więc
  a = 10.
  AC = 10 * pierw(2) oraz AS = 13 * pierw(2).
  Wysokość h ściany bocznej, połowa "a" i AS tworzą trójkąt prostokątny, więc:
  h^2 = (AS)^2 - (a/2)^2 = (13\sqrt{2})^2 - 5^2 = 313
  Wobec tego h = pierw(313)
  Pole powierzchni bocznej:
  S = 2 * a * h = 2 * 10 * pierw(313) = 20 * pierw(313)
  Mogłem się tu pomylić, bo brzydko wychodzi. Ale pole ACS się zgadza, wiec chyba dobrze.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie